Hey,
einige Sachen sind von dir zu wörtlich übersetzt worden! Das passt so nicht, auch die Grammatik stimmt hier und da nicht. Außerdem solltest du das richtige Apostroph (’) verwenden, und keinen Akzent (´).
Ich würde außerdem die Passage mit dem Skifahren evntl. rausnehmen, weil es das schwieriger machen könnte, eine Gastfamilie für dich zu finden… Hier ist es normal Ski zu fahren, aber der Großteil der Amerikaner ist noch kein Ski gefahren: Es gibt nur sehr wenige Skigebiete, die dann sehr teuer sind. Viele Gastfamilien denken dann, dass du erwartst, mit ihnen auch skifahren zu können (oder fragen sich, ob du dich dann auch in Arizona wohlfühlen würdest) - das ist auch eine Sache, die mir die Gasteltern hier in Norddeutschland häufig erzählen, weswegen sie Schüler lieber nicht aufnehmen würden… Wenn du das mit dem Skifahren als schreiben willst, solltest du meiner Meinung nach am Ende des Briefes noch stärker betonen, dass du auch offen für andere Sachen bist und dich auf ein GANZ ANDERES Leben freust. 
Außerdem finde ich, dass es ein bisschen hin- und her gehoppelt ist (sorry), du solltest das nochmal re-strukturieren.
Ich weiß zwar nicht, ob es ratsam ist, wenn ich deine Sprache überarbeite, denn dann haben deine Gasteltern einen ganz anderen Anspruch und eine ganz andere Vorstellung von dir, aber ich würde es sprachlich so ausdrücken:
Dear host family,
at first I would like to thank you for considering to host me. It would be awesome to spend one year of my life as a member of your family.
My family consists of 4 ½ members: My mum x, my dad x, my 20-year-old brother x (big solltest du hier weglassen, wenn du nicht implizierst, dass er richtig fett ist
- dass er dein großer Bruder ist, sehen sie am Alter!), my lovely cat Timon and me. I have a really good relationship with my parents, we can talk about anything and they support my decisions.
It’s self-evident to me to help them with the household, I’m used to set and clear the table, to clear out the dishwasher and to help my mother in the garden.
In the past years my family and I went skiing and snowboarding, which always was a great experience and so much fun.
On the weekend I like to go swimming or shopping with my friends. We love to have DVD-nights, too. I also like reading: my favorite books are the twilight saga, 13 reasons why and the joker (Ich kenne die Bücher mit ausnahme von Twilight nicht, aber du solltest die Titel in Anführungszeichen setzen! Und das hier wirkt ein bisschen zu sehr aufgezählt.).
Lately, I once in a while try to improve and/or (re-)design clothes. I’m not a professional, but I enjoy doing it.
In my freetime I sometimes work on the videos I’ve filmed with my camera. I share this passion with my best friend Sarah. Sarah and I have known us since the kindergarten, we do a lot together, e.g. going to the movies, we chill out in the park or simply hang out and talk a lot.
I believe it would be great to find some new hobbies in the US, maybe a sport I’ve never done before.
I would say that I’m an open-minded, friendly, optimistic and spontaneous person. I love to see and try new things and to travel in foreign countries.
The reasons why I’m going abroad for a year are obvious:
I would like to find out how other people live by getting a member of a new family, to make friends on your (= direkt ansprechen! persönlich!) side of the world, to learn something about your culture, to feel your famous school spirit, of course I also want to improve my English skills, but the most important thing for me is to have a really good year with a lot of new experiences. (In private: I’m very excited to have a locker!) 
At the moment I attend the 10th grade of the German “Gymnasium", which is the highest kind of school you can visit in Germany. (Das solltest du umformulieren, ich finde, das klingt ein wenig arrogant… Die Amerikanische High School hat den Anspruch alle Schüler “durchzuziehen”, d.h. du wirst auch auf seniors treffen, die kaum lesen können!) My favorite subjects are English, Sports and Art. Altogether I have a lot of fun with my friends in school. A regular school day starts at 7:55 am and ends at 1:00 pm. Then I return home to eat lunch, afterwards I will do my homework and the rest of school stuff (the rest of school stuff - darunter kann ich mir gerade nichts vorstellen???).
Sprachlich ist dieser Brief noch lange nicht perfekt, aber ich will ihn nicht komplett ummuddeln. Meiner Meinung nach solltest du noch viel an diesem Brief feilen, ohne dass du dich selbst dabei verlierst. Du solltest die Gastfamilie näher ansprechen, wenn du denn ein persönliches Verhältnis wünschst ;), und nicht immer allgemein von “dort drüben” reden. Der Brief ist meistens das, was die Gastfamilie entscheiden lässt, ob und wenn ja, welchen Schüler sie aufnimmt!
Die Gründe, weswegen du in die USA willst, solltest du nicht einfach so aufzählen, das wirkt nämlich langweilig, sondern clever hier und da erwähnen. (z.B. den Locker, wenn du über die Schule schreibst, usw.)
Liebe Grüße,
Wiebke